යානයේ සමීකරණය: බවට පත් කර ගන්නේ කෙසේද? වර්ග තලය සමීකරණ

ගුවන් යානය අභ්යවකාශ විවිධ ක්රම (එක් තිතක් හා දෛශික, දෛශික හා ලකුණු දෙක, තුන ස්ථාන, ආදිය) හි අර්ථ නිරූපණය කර ඇති කළ හැක. එය මතක මෙම සමඟ, ගුවන් යානය සමීකරණය වෙනස් වර්ගවල ඇති කළ හැකිය. ද යම් යම් කොන්දේසි යටතේ තලය, සමාන්තර ලම්බක, ඡේදනය විය හැකිය ආදිය මේ පිළිබඳව හා මෙම ලිපියේ කතා කරනු ඇත. අපි ගුවන් යානය සාමාන්ය සමීකරණය හා පමණක් කිරීමට ඉගෙන ගනු ඇත.

මෙම සමීකරණය සාමාන්ය ස්වරූපය

ආර් අවකාශය _3, සම්බන්ධීකරණය හතරැස් ක්රමය බවට XYZ ඇති වේ සිතන්න. අපි α එය ලම්බ වන තලය පී යොමු දෛශික අවසන් තුළින් ආරම්භක ස්ථානය ඕ නිදහස් කරනු ලබන දෛශික α, අර්ථ දක්වන්න.

හිතුවක්කාරී අවස්ථාවක Q = (x, y, z) දී පී දැක්වීමට. කාරණය Q ලකුණක් ලිපිය පි අරය දෛශික. දෛශික දිග α පි = IαI සමාන හා Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

දෛශික α ලෙස දිශාවට එල්ල වූ මෙම ඒකකය දෛශික,. α, β සහ γ - දෛශික හා ධනාත්මක උපදෙස් Ʋ අවකාශය අක්ෂ x, y, z පිළිවෙළින් අතර ඇතිවිය බව කෝණ වේ. දෛශික QεP Ʋ මත ලක්ෂ්යයක් ප්රක්ෂේපනය පි (පි, Ʋ) = p (r≥0) සමාන වන නියත ය.

විට p = 0 ඉහත සමීකරණය අර්ථවත් වේ. මෙම නඩුවේ එකම n තලය, සම්භවය වන අවස්ථාවක සාමාන්ය (α = 0), එතෙර තිබෙන බවත්, ඒ සම්බන්ධයෙන් අවස්ථාවක සාමාන්ය නිදහස් ඒකකය දෛශික Ʋ, දෛශික Ʋ තීරණය බව, ඉන් අදහස් වන්නේ එහි දිශාව, නමුත්, P, ලම්බ වනු ඇත ලකුණක් දක්වා. පසුගිය සමීකරණය අපගේ ගුවන් යානය P යනු, දෛශික ස්වරූපයෙන් පළ කළේය. එහෙත් එහි ඛණ්ඩාංක නිමිත්තෙන් වේ:

පී ට වඩා වැඩි හෝ 0 අපි සාමාන්ය ස්වරූපයෙන් තලය සමීකරණය සොයා ගෙන ඇත සමාන වේ.

පොදු සමීකරණයක්

ඛණ්ඩාංක දී සමීකරණය ශුන්ය සමාන නොවන බව ඕනෑම සංඛ්යාවක් විසින් බොහෝ සෙයින් වැඩි නම්, අපි ඉතා තලය නිර්වචනය මේ සඳහා සමීකරණය සමාන ලබා. ඒ සඳහා පහත සඳහන් ආකෘතිය ඇත:

මෙන්න, A, B, C - ශුන්ය සිට එකවර වෙනස් සංඛ්යාව වේ. මෙම සමීකරණය යානයේ පොදු ස්වරූපය පිළිබඳ සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.

මෙම ගුවන් යානා සමීකරණ. විශේෂ අවස්ථා

මෙම සමීකරණය සාමාන්යයෙන් අමතර කොන්දේසි වෙනස් කළ හැක. ඔවුන් සමහරක් ගැන සලකා බලන්න.

මෙම සංගුණකය ඒ මේ කලින් තීරණය අක්ෂය ගොනා බව ගුවන් යානය සමාන්තර පෙන්නුම් 0 බව උපකල්පනය කරමු. මේ අවස්ථාවේ දී, මෙම සමීකරණය වෙනස් ආකාරයක: Wu + අනිවාර්යෙන්ම + D = 0 වේ.

ඒ හා සමානව, සමීකරණය ස්වරූපයෙන් පහත සඳහන් කොන්දේසි වෙනස් වනු ඇත:

• පළමු වැන්න නම්, B = 0, සපාරව + අනිවාර්යෙන්ම + D = 0 සඳහා සමීකරණය වෙනස්කම්, අක්ෂය ඔයි කිරීමට අනුවර්තී වාදය පෙන්වා කරන, නම්.
• දෙවනුව, C = 0, ඓක්යයක් සපාරව + වන විට + D = 0 බවට පරිවර්තනය කරනු නම්, ඒ සඳහා ගෙවනු ලබන අක්ෂය ඔෆ් ඔස් සමගාමීව ගැන කීමට ය.
• තුන්වන, ඩී = 0 නම්, සමීකරණය යානය සාමාන්ය (ආරම්භය) ඡේදනය බව ඉන් අදහස් කරන, සපාරව + වන විට + අනිවාර්යෙන්ම = 0, ලෙස දිස් වනු ඇත.
• හතරවන, නම් a = b = 0, සමාන්තර පරිගණනය Oxy ඔප්පු වනු ඇත අනිවාර්යෙන්ම + D = 0 සඳහා සමීකරණය වෙනස්.
• පස්වන, B = C = 0 නම්, සමීකරණය සපාරව + D = 0, බවට පත් ගුවන් යානය Oyz සමගාමීව බව, ඉන් අදහස් වන්නේ.
• Sixthly, ඒ = C = 0 නම්, සමීකරණය ස්වරූපයෙන් Wu + D = 0 ගනී, i.e. මෙම සමාන්තර පරිගණනය Oxz වෙත වාර්තා කරනු ඇත.

අංශ මෙම සමීකරණය ආකෘතිය

පහත සඳහන් පරිදි එහිදී අංක A, B, C, D ශුන්ය වෙනස් වන අවස්ථාවක, සමීකරණය ස්වරූපයෙන් (0) විය හැකිය:

x / A + y / b + z / ඇ = 1,

, එයද a = -D / ඒ, ආ = -D / B, C = -D / සී

අපි කෑලි යානය ප්රතිඵලයක් සමීකරණය ලැබේ. (0, b, 0), සහ ඔෆ් ඔස් - - (0,0, ව) එය මෙම ගුවන් යානයේ ඛණ්ඩාංක (අ, 0,0), ඔයි සමග අවස්ථාවක දී x අක්ෂය ඡේදනය කරන බව සඳහන් කළ යුතු ය.

මෙම සමීකරණය x / A + y / b + z / ඇ = 1 දී, එය කලින් තීරණය කරන ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය සඳහා ස්ථානගත තලය සාපේක්ෂ මවාගන්න අපහසු වේ.

සාමාන්ය දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක

සාමාන්ය දෛශික n පී යානයේ සාමාන්ය සමීකරණයේ සංගුණක බව ඛණ්ඩාංක, i.e. ඇත n (A, B, C) ගුවන් යානය වෙත.

සාමාන්ය n හි ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම සඳහා, එය ගුවන් යානය ලබා දී ඇති පොදු සමීකරණය දැන ගැනීමට ප්රමාණවත් වේ.

(1 / a + 1 / b + 1 /: සාමාන්ය සමීකරණය භාවිතා කරන විට ඕනෑම සාමාන්ය දෛශිකය ඛණ්ඩාංක දෙන තලය ලිවිය හැකි පරිදි, කොටස් වශයෙන් මෙම සමීකරණය භාවිතා කරන විට, පෝරමය x / A + y / b + z / ඇ = 1 ඇති ඇ).

විවිධ ගැටළු විසඳීම සඳහා උදව් කිරීමේ සාමාන්ය දෛශික එය සටහන් කර ගත යුතු ය. වඩාත් පොදු ගැටළු, සාක්ෂි එකිනෙකට ලම්බක හෝ සමාන්තර ගුවන් යානා තුළ ගුවන් යානා හා සරල රේඛා අතර ගුවන් යානා හෝ කෝණ අතර කෝණ සොයා කර්තව්යය සමන්විත වේ.

ගුවන් යානය සමීකරණය හා ස්ථානය සාමාන්ය දෛශිකය ඛණ්ඩාංක අනුව ටයිප්

දී ඇති තලය ලම්බ ඒ nonzero දෛශික n, කලින් තීරණය කරන ගුවන් යානය සාමාන්ය ලෙස (සාමාන්ය).

: සම්බන්ධීකරණය අවකාශයේ (අ හතරැස් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය) Oxyz සකස් කියා සිතන්න

• ඛණ්ඩාංක (hₒ, uₒ, zₒ) සමග Mₒ වන ස්ථානය කවරේද;
• ශුන්ය දෛශික n = i + බී * j + C * k A *.

ඔබ සාමාන්ය n ලම්බ Mₒ ස්ථානය හරහා බව යානයේ සමීකරණය කළ යුතුය.

අවකාශය තුළ අප අත්තනෝමතික ස්ථානය තෝරා M (x, y, z) දකුණු ආසියාතික සමාජ. r = x වනු ඇත (z, x, y) එක් එක් අවස්ථාවක එම් අරය දෛශික ඉඩ * මම + y * j + z * k, සහ ස්ථානය Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) අරය දෛශික - rₒ = hₒ * මම uₒ + * j + zₒ * k. දෛශික MₒM දෛශික n ලම්බ විය නම් ස්ථානය එම්, දී ඇති තලය අයත් වනු ඇත. අපි අදිශ රාශියක් නිෂ්පාදන භාවිතා orthogonality තත්ත්වය ලියන්න:

[MₒM, n] = 0 වේ.

MₒM = R-rₒ සිට, ගුවන් යානය දෛශික සමීකරණය මෙම වගේ ඇත:

[R - rₒ, n] = 0 වේ.

මෙම සමීකරණය ද තවත් හැඩය ඇති කළ හැකිය. මෙම අරමුණු ඉටු කර ගැනීම සඳහා, අදිශ රාශියක් නිෂ්පාදනයේ ගුණ සහ සමීකරණය වම් පැත්ත පරිවර්තනය. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. - ගුවන් යානය අයත් දී ඇති ලකුණු අරය-වාහකයන් සාමාන්ය දෛශික මත ප්රක්ෂේපණ මෙම නිතර ප්රකාශ කරන = 0 හෝ [r, n] = s, [r, n]: [rₒ, n] හි ලෙස දක්වනු නම්, අපි පහත සඳහන් සමීකරණය ලබා ගත.

දැන් ඔබ සම්බන්ධීකරණය වර්ගය පටිගත තලය අපගේ දෛශික සමීකරණය [r - rₒ, n] ලබා ගත හැක = 0 R-rₒ = (x-hₒ) * මම + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k බැවින්, සහ n = i + බී * j + C * k A *, අපි:

එය නම්, අප සමීකරණය සාමාන්ය n ලම්බ ස්ථානය හරහා ගමන් තලය පිහිටුවා ඇත ඇති බව හැරෙනවා:

ඒ * (x hₒ) + බී * (Y uₒ) එස් * (z-zₒ) = 0 වේ.

ගුවන් යානය සමීකරණය හා දෛශික තලය ඒක රේඛීය වන ලකුණු දෙකක් ඛණ්ඩාංක අනුව ටයිප්

අපි දෙදෙනා අත්තනෝමතික ලකුණු M '(x', Y '', z ') සහ එම් "(X", Y ", z"), මෙන්ම දෛශික (අ', එය ", එය ‴) අර්ථ දක්වන්න.

දැන් අපි M (x, y, z) දී ඇති දෛශික සමගාමීව ඛණ්ඩාංක සමඟ පවතින අවස්ථාවක එම් 'සහ එම් "හරහා වන සමීකරණය කලින් තීරණය තලය අතර, එක් එක් අවස්ථාවක ලියන්න පුළුවන්.

මේ අනුව M'M වාහකයන් x = {x ', Y-y'; zz '} සහ එම් "M = {x" -X', Y '' y '; z "-z'} දෛශික සමග coplanar විය යුතු එය = "බව, ඉන් අදහස් වන්නේ (එය ‴, (M'M එම් ඒ ', අ)" එම්, අ) 0 =.

නිසා අවකාශය තුළ තලය අපගේ සමීකරණය මෙම වගේ ඇත:

ගුවන් යානය සමීකරණය වර්ගය, කරුණු තුනක් හරහා ගමන්

එම මාර්ගය අයත් නොවන (x ', Y' ', z'), (x ', Y' ', z'), (x ‴ යන ‴, z ‴),: දැන් අපි බලමු අපි තුන් කරන ස්ථාන කියන්න මට ඉඩ දෙන්න. එය නිරූපනය කර ඇති තුන් ලකුණු හරහා යානය සමත් වීෙම් සමීකරණය ලිවීමට අවශ්ය වේ. ජ්යාමිතිය න්යාය තලය මේ ආකාරයේ නොපවතියි බව ඔහු තර්ක කරයි, එය එක විතරයි. මෙම ගුවන් යානයේ කාරණය (x ', Y' ', z') ඡේදනය සිට, එහි සමීකරණය ආකෘති පත්රය වනු ඇත:

මෙන්න, A, B, C, ඒ සමගම ශුන්ය සිට වෙනස් වේ. ද ලබා දී ගුවන් යානය තවත් කරුණු දෙකක් (x ", Y", z ") සහ (x ‴, y ‴, z ‴) ඡේදනය. මේ සම්බන්ධයෙන් කොන්දේසි මේ ආකාරයේ සිදු කළ යුතුය:

දැන් අපි නිල ඇඳුමක් පද්ධතිය නිර්මාණය කළ හැකි සමීකරණ (රේඛීය) w, unknowns ඔබ, v සමග:

අපේ නඩුව x දී, y හෝ z සමීකරණය (1) තෘප්තිමත් වන අත්තනෝමතික කියවලා බලන්න. සමීකරණය (1) සහ සමීකරණ පද්ධතියක් (2) වන සහ ඉහත සඳහන් රූපය තුල සඳහන් සමීකරණ (3) ක්රමය, දෛශික තෘප්තිමත් එන් (A, B, C) nontrivial වන සලකා. පද්ධතියේ නිර්ණායකය ශුන්ය වේ නිසා.

සමීකරණය (1) අපි තියෙනවා නම්, මෙම ගුවන් යානය පිළිබඳ සමීකරණය. 3 අවස්ථාවක ඇය ඇත්තටම යයි, එය පරීක්ෂා කිරීමට පහසු වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි පළමු පේළි දී මූලද්රව්යවල විසින් නිර්ණායකය පුළුල්. පවතින ගුණ නිර්ණායකය වන මුලින් කලින් තීරණය තුනක් ස්ථානය (x ', Y' ', z'), (x ", Y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴) අපගේ තලය එකවර ඡේදනය බව පහත සඳහන්. ඒ නිසා අප ඉදිරිපිට කාර්ය තීරණය කළා.

මෙම ගුවන් යානා අතර Dihedral කෝණය

Dihedral කෝණය ඍජු රේඛාවක් තුළින් මතුවන අර්ධ ගුවන් යානා විසින් පිහිටුවන ලද අවකාශ ජ්යාමිතික හැඩය වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අර්ධ-ගුවන් යානා සීමිත වන අවකාශය කොටසක්.

අප පහත සඳහන් සමීකරණ සමඟ තලය දෙකක් සිතන්න:

අපි කලින් තීරණය ගුවන් යානා අනුව දෛශික එන් = (A, B, C) සහ N¹ = (A¹, H¹, S¹) එකිනෙකට ලම්බක වන බව අපි දන්නවා. මේ සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, මෙම ගුවන් යානා අතර පිහිටා ඇති වාහකයන් එන්, N¹ සමාන කෝණයක් (dihedral), අතර φ තුවායක් ද විය. මෙම අදිශ රාශියක් නිෂ්පාදනය මගින් ලබා දෙන:

NN¹ = | එන් || N¹ | φ මූලිකවම කතා,

ඊට හේතුව විශේෂයෙන් වත්මන්

cosφ = NN¹ / | එන් || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

එය 0≤φ≤π සලකා කිරීමට තරම් වේ.

ඡේදනය ඇත්තටම ගුවන් යානා දෙකක්, ආකෘති පත්ර දෙකක් කෝණය (dihedral): φ ₁ සහ φ _2. ඒවායේ එකතුව π (φ ₁ + φ ₂ = π) සමාන වේ. ඔවුන්ගේ කෝසයින සඳහා පරිදි, ඔවුන්ගේ පරම සාරධර්ම සමාන වේ, නමුත් ඔවුන් විවිධ සංඥා, එනම්, මූලිකවම කතා φ ₁ = -cos φ _{2 වේ.} මෙම සමීකරණය තුළ (0) පිළිවෙලින් සමීකරණය -A, -B සහ -C ක A, B හා C මගින් ප්රතිස්ථාපනය වේ නම්, අපි ලබා, එම ගුවන් යානය, φ = NN ¹ / cos සමීකරණය තුළ φ එකම කෝණය තීරණය කරනු ඇත | එන් || එන් ¹ | එය π-φ ප්රතිස්ථාපනය වේ.

මෙම ලම්භක තලය පිළිබඳ සමීකරණය

කෝණය අංශක 90 වන අතර එකිනෙකට ලම්බක තලය, ලෙස හඳුන්වනවා. ඉහත ඉදිරිපත් කර ඇති ද්රව්ය භාවිතා කරමින්, අප වෙනත් ලම්බ ගුවන් යානයක් වන මෙම සමීකරණය සොයා ගත හැකි වනු ඇත. සපාරව + වන විට + අනිවාර්යෙන්ම + D = 0, + හා A¹h V¹u S¹z + D = 0: අපි ගුවන් යානා දෙකක් සිතන්න. අප මූලිකවම කතා = 0 නම් ඔවුන් ප්රලම්බ බව කියන්න පුළුවන්. මෙම NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ බව + = 0 වේ.

සමාන්තර යානයේ සමීකරණය

එය පොදු කිසිදු ලකුණු අඩංගු වන අතර මීට සමගාමීව ගුවන් යානා දෙකක් සඳහන්.

තත්ත්වය සමාන්තර ගුවන් යානා (ඔවුන්ගේ සමීකරණ පෙර ඡේදයේ මෙන් ම) ඔවුන් ලම්බ වන වාහකයන් එන්, N¹, ඒක රේඛීය වේ. මෙම පහත කොන්දේසි ප්රමාණවත් නොවීමද මෙහිදී හමු වන බව අදහස්:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

සමානුපාතික ඡන්ද කොන්දේසි පුළුල් කරන්නේ නම් - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

මෙම එම දත්ත ගුවන් යානය බවයි. මෙම බව සමීකරණය සපාරව + වන විට + අනිවාර්යෙන්ම + D = 0 අදහස් හා + A¹h V¹u S¹z + D¹ = 0 එක් තලය විස්තර.

මෙම ස්ථානයේ සිට ගුවන් යානය ඇති දුර

අපි (0) විසින් දෙනු ලබන ගුවන් යානයක් පී, හිතන්න. එය Qₒ ඛණ්ඩාංක (hₒ, uₒ, zₒ) සමග මෙම ස්ථානයේ සිට ඇති දුර සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන =. , ඔබ එය කර ගැනීමට තලය දෙවන සාමාන්ය පෙනුම දී සමීකරණය ගෙන ඒමට අවශ්ය:

(Ρ, v) = p (r≥0).

මේ අවස්ථාවේ දී, ρ (x, y, z) n පි මත පිහිටා අපගේ දෘෂ්ටි Q, අරය දෛශිකයක් වේ - n ශුන්ය ලක්ෂ්ය නිදහස් කරන ලද, එකිනෙකට ලම්බක දුර වේ, v - දිශාව දී සංවිධානය කරන ඒකකය දෛශික, වේ.

ලක්ෂ්යයක් Q = (x, y, z), n හා දී ඇති අවස්ථාවක Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) අරය දෛශික අයත් වෙනස ρ-ρº අරය දෛශික එවැනි දෛශික, මත වන ප්රක්ෂේපනය වන පරම අගයක් v Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) පී සිට සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන d දුරකින්, සමාන:

D = | (ρ-ρ ^0, v) | නමුත්

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

ඒ නිසා එය දුටුවේ,

ඈ = | (ρ ^0, v) පි |.

දැන් එය ₀ සිට Q තලය පී ඇති දුර ඈ ගණනය කිරීමට, එය සාමාන්ය දැක්ම තලය සමීකරණය, පි වම් ද x අවසන් ස්ථානයට මාරුව, y, z ආදේශකයක් (hₒ, uₒ, zₒ) භාවිතා කිරීමට අවශ්ය වන බව පැහැදිලි ය.

මේ අනුව, අපි ඈ අවශ්ය බව එහි ප්රතිඵලයක් අදහස් ප්රකාශ කිරීමේ පරම අගය සොයා ගන්න.

භාෂාව පරාමිතීන් භාවිතා කරමින්, අප පැහැදිලි ගන්න:

d = | Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

නිශ්චිත අවස්ථාවක Q ₀ සම්භවය ලෙස තලය පී අනෙක් පැත්තේ නම්, දෛශික ρ-ρ ⁰ සහ v අතර වේ යනු obtuse කෝණය, ඒ අනුව:

ඈ = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

මෙම නඩුව විට අවස්ථාවක Q ₀ සඳහා U එකම පැත්තේ පිහිටා සම්භවය සමඟ එක්ව දී, උග්ර කෝණය නිර්මාණය, එනම්:

ඈ = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

එහි ප්රතිඵලය වී ඇත්තේ, හිටපු නඩුවේ (ρ ^0, v)> පි, දෙවන (ρ ^0, v) <පි බව ය.

හා ටැංජනය තලය සමීකරණය

මතුපිට එම ලක්ෂ්යය හරහා ඇදී වක්රය කිරීම සඳහා ගත හැකි සියළුම සීකන අඩංගු තලය - tangency Mº වන අවස්ථාවක දී මතුපිටට තලය ගැන.

: මෙම මතුපිට දක්වා සීකන තලය දක්වා සීකන අවස්ථාවක Mº ඇති සමීකරණය 0 (hº, uº, zº) වනු ඇත = (z, x, y) මෙම සමීකරණය එෆ් ස්වරූපය සමග

එෆ් _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (uº, hº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0 වේ.

මතුපිට සුවිශේෂව z = f (x, y) සකස් නම්, එසේ නම් සීකන යානය සමීකරණය මගින් විස්තර කර ඇත:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

ගුවන් යානා දෙකක් එකට හමුවන තැන

දී ත්රිමාණ අවකාශය ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය (හතරැස්) Oxyz, පැටලෙන්නේ හා සමගාමීව නැති බව ගුවන් යානා දෙකක් P "සහ P 'ලබා දී ඇත. පොදු සමීකරණයක් මගින් අර්ථ දක්වා ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය හතරැස් තුළ ඇති ඕනෑම ගුවන් යානය, නිසා, අප n + බී x '+ y' "= 0 හා A හා n සමීකරණ A'x + V'u S'z + D විසින් අර්ථ නිරූපනය කර ඇත '" බව උපකල්පනය "z + D" = 0 සමඟ. මෙම අවස්ථාවේ දී අප ගුවන් යානය P "සහ තලය පී සාමාන්ය n" (A ", බී", C ") 'සාමාන්ය n' (ඒ ', බී', C ') ඇත. අපගේ ගුවන් යානය සමාන්තර නොවන හා සමගාමීව නැහැ ලෙස, එවිට මෙම වාහකයන් ඒක රේඛීය නොවේ. ගණිතය භාෂාව භාවිතා කරමින්, අප මේ තත්වය ලෙස ලිවිය හැකි ඇති: n '≠ n "↔ (ඒ', බී ', C') ≠ (λ * තවද", λ * දී, "λ * සී"), λεR. එකට හමුවන තැන පී දී වැටී තිබෙන සරළ රේඛීය වේවා 'සහ P ", මෙම ලිපිය, මෙම සිද්ධිය සම්බන්ධයෙන් = P මගින් වන කරනු ඇත' ∩ පී".

සහ - ලකුණු (පොදු) ගුවන් යානා P "සහ P" ගණනාවකින් සමන්විත රේඛාවක්. මෙම රේඛාව ඉතා අයත් ඕනෑම ස්ථානයක ඇති ඛණ්ඩාංක, එකවර සමීකරණය A'x + V'u S'z සතු විය යුතු බවයි + D '= 0 හා ඒ "x + බී' + C y" z + D "= 0 වේ. මෙම කාරණය පිළිබඳ ඛණ්ඩාංක පහත සමීකරණ යම් විසඳුමක් වනු ඇති බව ය:

ප්රතිඵලය සමීකරණ මේ ක්රමයේ විසඳුමක් (සමස්ත) ඡේදනය P වන ස්ථානය ලෙස ක්රියා කරනු ඇත වන රේඛාව මත ලකුණු එක් එක් ඛණ්ඩාංක බව තීරණය කරනු ඇත 'සහ P ", සහ ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය Oxyz (හතරැස්) අවකාශයේ රේඛාවක් තීරණය වේ.