ත්රිකෝණයක කෝණ එකතුව. ත්රිකෝණයක කෝණ එකතුව මත ප්රමේයය

ත්රිකෝණයේ පැති තුනක් (කෝණ තුනක්) සහිත බහු අස්ර වේ. බොහෝ විට, එම කොටස ප්රතිවිරුද්ධ vertices නියෝජනය කරන ප්රාග්ධන ලිපි, අනුරූප කුඩා ලිපි මගින් වන. මෙම ලිපියෙන් අපි ජ්යාමිතික හැඩතල මේ ආකාරයේ දී ත්රිකෝණයක කෝණ එකතුව සමාන දේ නිර්වචනය කරන පෙනුම, ප්රමේයය ගන්න.

වර්ග විශාලතම කෝණ

vertices තුනක් බහුඅස්ර පහත දැක්වෙන ආකාරයේ:

• සියලු කෝණ තියුණු වන උග්ර-වැඩේ;
• , එක් සෘජු කෝණයක් සහිත පැත්ත එය පිහිටුවීමේ හතරැස්, කකුල් සඳහන්, සහ සෘජු කෝණයක් ප්රතිවිරුද්ධ බැහැර කරන බව පැත්තේ කර්ණය ලෙස හදුන්වනු ඇත;
• obtuse එක් විට කෝණය obtuse වේ ;
• දෙකක් කාගේ ප්රථිඵලය, ඔවුන් පාර්ශ්වික ලෙස හැඳින්වේ සමද්වීපාද, සහ තෙවන - පදනමක් සහිත ත්රිකෝණය,
• සමාන පැති තුනක් සහිත equilateral.

ගුණ

ත්රිකෝණයක එක් එක් වර්ගයේ ලක්ෂණයක් බව මූලික ගුණ වෙන්:

• ශ්රේෂ්ඨතම පැත්තේ විරුද්ධ හැම විටම වැඩි කෝණයක්, සහ අනෙක් අතට ය;
• සමාන-විශාලතම පක්ෂය විරුද්ධ සමාන කෝණ, සහ අනෙක් අතට ය;
• ඕනෑම ත්රිකෝණයක උග්ර කෝණ දෙකක් ඇත;
• යාබද කි්රයාත්මක ඕනෑම අභ්යන්තර කෝණයක් නොව වඩා වැඩි පිටත කෝණය;
• ඕනෑම කෝණ දෙකක එකතුව සෑම විටම අංශක 180 ට වඩා අඩු වීම;
• බාහිර කෝණය ඔහු සමඟ mezhuyut නොවන අනෙක් කොන් දෙකක එකතුව, සමාන වේ.

ත්රිකෝණයක කෝණ එකතුව මත ප්රමේයය

ප්රමේයයේ ඔබ සියලු වන යුක්ලීඩියානු තලය තුළ පිහිටා ඇති, ජ්යාමිතික හැඩය කොන් එකතු නම්, ඒවායේ එකතුව අංශක 180 වනු ඇතැයි පවසයි. අපි මේ ප්රමේයය ඔප්පු කිරීමට උත්සාහ කරමු.

අපි vertices KMN සමග අත්තනෝමතික ත්රිකෝණය දෙන්න. එම් මුදුන හරහා පවත්වනු ඇත රේඛාව සෘජු සමාන්තර කේ.එන් (මෙම රේඛාව පවා යුක්ලිඩ් ලෙස හැඳින්වේ). ඒ නිසා ලකුණු K හා ඒ රේඛාව MN විවිධ පැති වලින් සකසා ඇත එය ලක්ෂය සඳහන් කළ යුතු ය. අපි අභ්යන්තර මෙන් සෘජු සීඑන් සහ එම්.ඒ. සමඟ එක්ව MN ඡේදනය පිහිටුවීමට හරස් අතට වැටී ඇති, සමාන්තර AMS හා MUF එකම කෝණය, ලබා ගන්න. මෙම සිට එය එම් ඇන්ඩ් එන් යන vertices පිහිටා ත්රිකෝණයේ කෝණ එකතුව, තත්වයක් නිර්මාණය කෝණය ප්රමාණය සමාන වන බව පහත සඳහන්. සියලු කෝණ තුනක් KMA හා MCS පිළිබඳ කෝණ එකතුව සමාන මුදලක් කින් සමන්විත වේ. දත්ත අභ්යන්තර කෝණ සාපේක්ෂ ඒක පාර්ශවීය සමාන්තර රේඛා සීඑල් සහ මහ ඇමති එම් ඡේදනය දී වන බැවින්, ඒවායේ එකතුව අංශක 180 වේ. මෙම ප්රමේයය ඔප්පු වෙනවා.

ප්රතිඵලය

ඉහත ප්රමේයය ඉහත පහත සඳහන් නිගමනයකි ගම්ය: සෑම ත්රිකෝණය සුළු කෝණ දෙකක් ඇත. මෙම ඔප්පු කිරීමට, අපට මෙම ජ්යාමිතික චරිතයක් එකම අභිලම්භ ඇති බව උපකල්පනය කරමු. ඔබ ද කොන් කිසිවක් තියුණු නොවන බව උපකල්පනය කළ හැකිය. මෙම අවස්ථාවේ දී එය සමාන ෙහෝ අංශක 90 ට වඩා වැඩි වන විශාලත්වය කෝණ දෙකක් විය යුතුය. නමුත්, පසුව, කෝණ එකතුව අංශක 180 ට වඩා වැඩි වේ. කිසිදු අඩු, තවත් - නමුත් මේ ත්රිකෝණයක ප්රමේයයේ මුදලක් කෝණ අනුව ලෙස කළ නො හැකි, 180 ° ට සමාන වේ. බව ඔප්පු කිරීමට සිදු විය මොකක්ද.

දේපල පිටත කොන්

බාහිර ඇති අතර, එය ත්රිකෝණයේ කෝණ එකතුව යනු කුමක්ද? මේ ප්රශ්නයට පිළිතුරු ක්රම දෙකක් එක් යෙදීමෙන් ලබා ගත හැක. පළමු, ඔබ බව කෝණ තුනක් එක් එක් ශීර්ෂයක් එක් ගෙන ඇති කෝණ එකතුව, සොයා ගැනීමට අවශ්ය බව ය. දෙවන ඔබ vertices දී කෝණ හය මුදලක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය බවයි. පළමු ලිපිය දිගු ආරම්භයේ සමග ගනුදෙනු කිරීමට. දෙදෙනා එක් එක් මුදුනේ - මේ අනුව, ත්රිකෝණය හයක් පිටත කොන් අඩංගු වේ. ඔවුන් සිරස් බැවින් එක් එක් යුගලය, තමන් අතර සමාන කෝණ:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

මීට අමතරව, එය ත්රිකෝණය පිටත කෙළවරේ ඔහු සමඟ mezhuyutsya නොවන දෙක ඇතුළත එකතුව, සමාන වන බව දන්නා කරුණකි. ඒ නිසා,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

මෙම සිට එය එක් එක් ශීර්ෂයක් අසල එකින් එක ගෙන ඇති බාහිර පෘෂ්ටය කෝණ, එකතුව සමාන වනු ඇත බව පෙනී යයි:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

කෝණ එකතුව අංශක 180 සමාන බව සලකන විට, එය ∟A + ∟V ∟S = + 180 ° බව තර්ක කළ හැකිය. මෙම ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 ° බවයි. දෙවන විකල්පය භාවිතා කරන්නේ නම්, එම කෝණ හය මුදලක් දෙවරක් ඊට සමාන්තරව වැඩි වනු ඇත. එනම් ත්රිකෝණයක කෝණ පිටත මුදලක් වනු ඇත:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

සෘජුකෝණී ත්රිකෝණයක

සෘජුකෝණී ත්රිකෝණයක කෝණ එකතුව සමාන දේ, දිවයින, ඇයි? පිළිතුර ත්රිකෝණයක කෝණ අංශක 180 දක්වා එකතු වන වගන්තිය එනම් ප්රමේයය, සිට, නැවතත්, වේ. ලෙස පළුදු අපගේ ප්රකාශය (දේපල) පහත සඳහන්: තියුණු කෝණ අංශක 90 දක්වා එක් සෘජුකෝණී ත්රිකෝණයක දී. අපි එහි නොපමුණවනු ඔප්පු. ∟N = 90 ° ත්රිකෝණය KMN, ලබා දිය එහි ඉඩ දෙන්න. එය ∟K ∟M = + 90 ° බව ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය වේ.

මේ අනුව, කෝණ ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° එකතුව මත ප්රමේයය අනුව. මේ තත්ත්වය තුළ ඒ ∟N = 90 ° බව පැවසේ. එය ∟K ∟M + 90 ° = 180 ° හැරෙනවා. 90 ° = 90 ° - ඒක ∟K ∟M + = 180 ° වේ. බව අපි ඔප්පු යුතු දේ.

සෘජුකෝණී ත්රිකෝණයක ඉහත ගුණ කිරීමට අමතරව, ඔබ මේ එකතු කරන්න:

• තියුනු කකුල් එරෙහිව බොරු කරන කෝණ;
• කකුල් ඕනෑම වඩා වැඩි තුන්කොන් කර්ණය;
• කර්ණය වඩා කකුල් මුදල ෙකොපමණද;
• අංශක 30 ක කෝණයක් ඉදිරිපිට වැටී තිබෙන ත්රිකෝණය, කකුල, කර්ණය අඩක් බව එහි අර්ධ සමාන වේ.

ජ්යාමිතික හැඩය තවත් දේපල ලෙස සම්භාවනීය පයිතගරස් ප්රමේයය විය හැක. ඇය අංශක 90 (හතරැස්) ක කෝණයක් සහිත ත්රිකෝණය තුල, කකුල් වල කොටු මුදලක් කර්ණය වර්ග සමාන වන බව තර්ක කරයි.

සමද්වීපාද ත්රිකෝණය කෝණ එකතුව

මීට පෙර අප සමද්වීපාද ත්රිකෝණය සමාන පැති දෙකක් අඩංගු, vertices තුනක් සමග බහු අස්ර බවයි. මෙම දේපල ජ්යාමිතික චරිතයක් දන්නා: එහි පාමුල කෝණ සමාන විය. අපට මේ ඔප්පු කරමු.

එහි පදනම - ත්රිකෝණයේ සමද්වීපාද, පිල වන KMN, ගන්න. අපි ∟K = ∟N ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය වේ. ඒ නිසා, දැන් අපි ඒ එම් උපකල්පනය කරමු - KMN අපගේ ත්රිකෝණයක bisector වේ. සමානාත්මතාවය පිළිබඳ ප්රථමයෙන් සමග ICA ත්රිකෝණය ත්රිකෝණය MNA වේ. එනම්, උපන්යාසය මගින්, මහ ඇමති = එන්.එම් එම්.ඒ. පොදු පැත්තේ බව, ∟1 = ∟2 ලබා නිසා එම්.ඒ. - මෙම bisector. මෙම ත්රිකෝණ දෙකක සමානාත්මතාවය භාවිතා, එක් ∟K = ∟N තර්ක කළ හැකිය. මේ නිසා, ප්රමේයය ඔප්පු වී ඇත.

නමුත් අපට ත්රිකෝණයක් (සමද්වීපාද) යන කෝණ එකතුව දේ, උනන්දුවක් දක්වන. මේ සම්බන්ධයෙන් එහි ලක්ෂණ නැති නිසා, අපි මීට පෙර සාකච්ඡා කළ ප්රමේයය සිට ආරම්භ වනු ඇත. එනම්, අපි ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° හෝ 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (∟K = ∟N ලෙස) බව මට කියන්න පුළුවන්. මෙම ත්රිකෝණයක කෝණ එකතුව මත ප්රමේයය ඔප්පු කරන ලදී ලෙස පෙර, ඒ දේපල ඔප්පු කිරීමට නොහැකි වනු ඇත.

ත්රිකෝණයක කොන් වූ සලකා ගුණ හැර, ද එවැනි වැදගත් ප්රකාශ වේ:

• දී ඉතා equilateral ත්රිකෝණය උස, එම පදනම පහත හෙලන කර තිබූ එකවර සමාන පැති අතර වන කෝණයේ රඟට bisector වේ සමමිතිය අක්ෂය එහි පදනම ෙකොපමණද;
• ගුණෝත්තර චරිතයක් දෙපස පවත්වන ලබන මධ්යම මට්ටමේ (bisector, උස),, සමාන වේ.

equilateral ත්රිකෝණය

එය ද නිවැරදි ලෙස වන අතර, සියලු පක්ෂ සමාන වන ත්රිකෝණයේ, වේ. එම නිසා ද සමාන හා කෝණ ලෙසිනි. ඔවුන් එක් එක් උපාධි 60 ක් වේ. අපට මෙම දේපල ඔප්පු කරමු.

අප අපට ත්රිකෝණයක් KMN ඇති බව උපකල්පනය කරමු. KM = එච්.එම් = කේ.එච් බව අපි දන්නවා. මෙය equilateral ත්රිකෝණය ∟K = ∟M = ∟N පාදක පිහිටි කෝණ දේපල අනුව බවයි. ත්රිකෝණයක ප්රමේයය ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, පසුව x 3 = 180 ° ∟K හෝ ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 ° ක කෝණ එකතුව අනුව, සිට. මේ අනුව, එම ප්රකාශය ඔප්පු වී ඇත. ඉහත ප්රමේයය මත පදනම් ඉහත සාක්ෂි ලැබෙන පරිදි, කෝණ එකතුව , ක equilateral ත්රිකෝණයක වෙනත් ඕනෑම ත්රිකෝණයක කෝණ එකතුව ලෙස අංශක 180 වේ. නැවත මේ ප්රමේයය ඔප්පු අවශ්ය නොවේ.

තවමත් equilateral ත්රිකෝණයක ලක්ෂණයක් සමහර ගුණ ඇත:

• සමාන වූ ජ්යාමිතික සංඛ්යාවේ මධ්යම තරමේ bisector උස, සහ ඔවුන්ගේ දිග (අ x √3) ලෙස ගණනය කරනු ලැෙබ්: 2;
• මෙම බහු අස්ර රවුම circumscribing නම්, අරය (අ x √3) සමාන වනු ඇත: 3;
• රවුමක් equilateral ත්රිකෝණය සටහන් නම්, එහි අරය (අ x √3) වනු ඇත: 6;
• ජ්යාමිතික චරිතයක් ප්රදේශය සූතෙයන් ගණනය කරනු ලැෙබ්: (A2 x √3): 4.

obtuse ත්රිකෝණය

අර්ථ දැක්වීම අනුව, විසින් ඉතා obtuse-වැඩේ ත්රිකෝණය, එහි කොන් එක් 90 180 දක්වා උපාධි ත් අතර ය. එහෙත් තියුණු ජ්යාමිතික හැඩය අනෙක් කෝණ දෙකක් බව ලබා දී, එය ඔවුන් අංශක 90 ඉක්මවා නැති බව නිගමනය කළ හැක. ඒ නිසා, ත්රිකෝණයක ප්රමේයයෙහි කෝණ එකතුව යනු obtuse ත්රිකෝණයේ කෝණ එකතුව ගණනය ක්රියා කරයි. ඒ නිසා, අපි ආරක්ෂිතව ත්රිකෝණයක obtuse කෝණ එකතුව අංශක 180 ක් වන බව ඉහත ප්රමේයය මත පදනම් කියන්න පුළුවන්. නැවතත්, මෙම ප්රමේයය නොවදින නැවත කිරීම අවශ්ය නොවේ.